Calcul mental CM2 — Semaine 20, Vendredi

CONCEPT CLÉ : Vitesse = Distance ÷ Temps (v = d ÷ t).

Proportionnalité distance/temps si vitesse constante.

Conversions km/h ↔ m/s. §1 - Comprendre la notion de vitesse La VITESSE mesure la rapidité d'un déplacement.

Elle exprime la distance parcourue par unité de temps.

Unités courantes : km/h (kilomètres par heure), m/s (mètres par seconde), km/min.

Définition mathématique : v = d ÷ t, où v = vitesse, d = distance, t = temps.

Exemple : voiture parcourt 150 km en 3 h. v = 150 ÷ 3 = 50 km/h.

Signification : à cette vitesse, la voiture parcourt 50 km chaque heure.

Si vitesse CONSTANTE, il y a PROPORTIONNALITÉ entre distance et temps : d = v × t.

Doubler le temps double la distance.

Tripler le temps triple la distance.

Le coefficient de proportionnalité est la vitesse.

Situations réelles : vitesse constante est une approximation (voiture accélère, ralentit, s'arrête).

En mathématiques, on suppose vitesse constante pour simplifier.

Les vitesses permettent de comparer rapidités : sprinter 36 km/h, cycliste 30 km/h, voiture 90 km/h, TGV 300 km/h, avion 900 km/h.

Développer le sens des ordres de grandeur. §2 - Formules des vitesses : les 3 relations Trois formules selon ce qu'on cherche. Formule 1 : Calculer la vitesse. v = d ÷ t.

Exemple : 240 km en 4 h. v = 240 ÷ 4 = 60 km/h. Formule 2 : Calculer la distance. d = v × t.

Exemple : vitesse 80 km/h pendant 3 h. d = 80 × 3 = 240 km. Formule 3 : Calculer le temps. t = d ÷ v.

Exemple : 300 km à 75 km/h. t = 300 ÷ 75 = 4 h.

Ces trois formules découlent de v = d ÷ t par manipulations algébriques : multiplier ou diviser les deux côtés.

En CM2, pas d'algèbre formelle, mais comprendre intuitivement : "Si je connais vitesse et distance, je trouve temps en divisant distance par vitesse." Mnémotechnique visuelle (triangle de la vitesse) : dessiner triangle avec d en haut, v et t en bas.

Cacher ce qu'on cherche, les deux autres donnent la formule.

Cacher d : v × t.

Cacher v : d ÷ t.

Cacher t : d ÷ v.

Outil simple et efficace. §3 - Conversions d'unités pour les vitesses Les calculs de vitesse nécessitent cohérence des unités.

Si distance en km et temps en h, vitesse en km/h.

Si distance en m et temps en s, vitesse en m/s.

Problème fréquent : temps donné en minutes.

Convertir en heures d'abord ! Exemple : 120 km en 90 min. 90 min = 90 ÷ 60 = 1,5 h. v = 120 ÷ 1,5 = 80 km/h.

Conversion km/h ↔ m/s (collège, mais introduire) : 1 km/h = 1 000 m / 3 600 s ≈ 0,278 m/s.

Raccourci : diviser par 3,
6.

Exemple : 90 km/h = 90 ÷ 3,6 = 25 m/s.

Inverse : multiplier par 3,
6. 20 m/s = 20 × 3,6 = 72 km/h.

En CM2, se concentrer sur km/h avec conversions h ↔ min.

Les conversions km/h ↔ m/s sont pour élèves avancés.

Insister : toujours vérifier cohérence des unités avant de calculer.

Faire dire aux élèves les unités à voix haute : "120 km divisé par 2 h donne 60 km/h." §4 - Problèmes de vitesses : méthodes de résolution Méthode systématique : 1) Identifier ce qu'on cherche (v, d ou t). 2) Identifier les données connues. 3) Vérifier/harmoniser les unités (convertir si nécessaire). 4) Choisir la formule appropriée. 5) Calculer. 6) Vérifier la cohérence. Exemple 1 : "Cycliste parcourt 60 km en 4 h.

Vitesse ?" Cherche v.

Données : d=60 km, t=4 h.

Unités OK.

Formule : v = d ÷ t.

Calcul : v = 60 ÷ 4 = 15 km/h. Exemple 2 : "Train roule à 120 km/h.

Distance en 2,5 h ?" Cherche d.

Données : v=120 km/h, t=2,5 h.

Formule : d = v × t.

Calcul : d = 120 × 2,5 = 300 km. Exemple 3 : "Voiture fait 450 km à 90 km/h.

Temps ?" Cherche t.

Données : d=450 km, v=90 km/h.

Formule : t = d ÷ v.

Calcul : t = 450 ÷ 90 = 5 h.

Problème mixte : "Trajet 400 km, 3 h à 100 km/h puis reste à 80 km/h.

Temps total ?" 3 h : 100×3 = 300 km.

Reste : 400-300 = 100 km à 80 km/h. t = 100÷80 = 1,25 h.

Total : 3+1,25 = 4,25 h = 4 h 15 min.

Ces problèmes multi-étapes développent raisonnement complexe. §5 - Synthèse de la proportionnalité : toutes les notions Récapitulatif final de la semaine. Lundi : Tableaux de proportionnalité, coefficient k.

Relation : grandeur2 = k × grandeur
1. Mardi : Quatrième proportionnelle, règle de trois.

Si a → b et c → ?, alors ? = (b×c)÷a. Jeudi : Échelles (1/n : 1 cm carte = n cm réel), Pourcentages (n% = n/100, raccourcis 50%=÷2, 25%=÷4, 10%=÷10). Vendredi : Vitesses (v=d÷t, d=v×t, t=d÷v), conversions d'unités.

RECONNAISSANCE : Une situation est proportionnelle si multiplier une grandeur par k multiplie l'autre par k (coefficient constant).

OUTILS : Tableaux, graphiques (droite passant par origine), formules.

APPLICATIONS : Achats (prix/quantité), Recettes (ingrédients/personnes), Échelles (carte/réel), Pourcentages (réductions, taxes), Vitesses (distance/temps).

La proportionnalité structure toute la pensée mathématique et scientifique.

C'est une compétence transversale majeure, fondement des fonctions linéaires au collège. §6 - Applications finales et problèmes complexes Proposer problèmes intégrant plusieurs notions de proportionnalité. Problème 1 : "Voiture consomme 6 L/100 km.

Trajet 450 km. a) Consommation totale ? b) Essence 1,50 €/L, coût total ?" a) (6×450)÷100 = 27 L. b) 27×1,50 = 40,50 €. Problème 2 : "Carte 1/50 000, trajet mesure 8 cm.

Vitesse 60 km/h.

Temps de trajet ?" 8 cm → 8×50 000 = 400 000 cm = 4 km. t = 4÷60 = 0,0667 h = 4 min. Problème 3 : "Magasin : réduction 30% sur article 120 €.

TVA 20% sur prix soldé.

Prix final ?" 30% de 120 = 36, soldé = 84 €. 20% de 84 = 16,80, TTC = 100,80 €. Problème 4 : "Recette 6 pers : 300 g farine, 150 g sucre.

Pour 8 pers.

Prix si farine 1,50 €/kg, sucre 2 €/kg ?" k = 8÷6 = 4/
3.

Farine : 300×4/3 = 400 g.

Sucre : 150×4/3 = 200 g.

Prix : (0,4×1,50)+(0,2×2) = 0,60+0,40 = 1 €.

Ces problèmes complexes synthétisent toutes les compétences de la semaine et préparent évaluation P
3.

💡 DIFFÉRENCIATION

🔹 Élèves en difficulté : Vitesses : se limiter à v=d÷t avec nombres entiers simples et unités harmonisées (toujours km et h).

Fiche avec formules et triangle mnémotechnique.

Calculatrice autorisée.

Problèmes guidés étape par étape.

Synthèse : révision des notions de base uniquement (tableaux, coefficient k).

Binôme.

Objectif minimum : calculer vitesse simple, comprendre v=d÷t, réviser tableaux proportionnalité.

🔹 Élèves dans la norme : Maîtriser les 3 formules (v=d÷t, d=v×t, t=d÷v).

Conversions temps h↔min.

Résoudre problèmes vitesses variés.

Synthèse complète semaine : tableaux, règle de trois, échelles, pourcentages, vitesses.

Problèmes intégrant plusieurs notions.

Préparation évaluation P
3.

Travail autonome.

Objectif : maîtrise complète proportionnalité sous toutes ses formes, résolution problèmes complexes autonome.

🔹 Élèves avancés : Problèmes vitesses avec conversions km/h↔m/s.

Vitesses moyennes avec changements.

Problèmes très complexes intégrant 4-5 notions (échelles+vitesses+pourcentages+conversions).

Proportionnalité inverse (plus on est nombreux, moins on met de temps).

Recherche : graphiques de fonctions linéaires, pente=coefficient.

Créer évaluation complète proportionnalité pour classe.

📝 PROBLÈME :
Thomas prépare un voyage en voiture.

Sur sa carte routière à l'échelle 1/200 000, le trajet mesure 18 centimètres.

Il prévoit de rouler à une vitesse moyenne de 90 km/h. a) Quelle est la distance réelle du trajet en kilomètres ? b) Combien de temps (en heures et minutes) durera le trajet à cette vitesse ? c) Sachant que sa voiture consomme 6 litres d'essence aux 100 km et que l'essence coûte 1,80 € le litre, quel sera le coût total en essence pour ce trajet ?
✅ SOLUTION :
Problème complet intégrant échelle, vitesse, proportionnalité et calculs. a) Distance réelle du trajet Échelle : 1/200 000 signifie 1 cm = 200 000 cm réel Distance sur carte : 18 cm Distance réelle = 18 × 200 000 = 3 600 000 cm Conversion en km : 3 600 000 cm = 36 000 m = 36 km b) Temps de trajet à 90 km/h Formule : t = d ÷ v t = 36 ÷ 90 = 0,4 heure Conversion en minutes : 0,4 h = 0,4 × 60 = 24 minutes Le trajet durera 24 minutes (ou 0,4 heure). c) Coût en essence Consommation : 6 L pour 100 km Pour 36 km : (6 × 36) ÷ 100 = 216 ÷ 100 = 2,16 litres Coût : 2,16 L × 1,80 €/L = 3,888 € ≈ 3,89 € Réponses : a) La distance réelle du trajet est de 36 kilomètres. b) Le trajet durera 24 minutes (0,4 heure) à 90 km/h. c) Le coût total en essence sera de 3,89 € (environ 3,90 €).

Vérifications : - 18 cm × 200 000 = 3 600 000 cm = 36 km

✓ - 36 ÷ 90 = 0,4 h = 24 min

✓ - 2,16 × 1,80 = 3,888 €

✓

✅ RÉCAPITULATIF SEMAINE 20 - PROPORTIONNALITÉ

🎯 ACQUIS EN FIN DE SEMAINE

Reconnaître une situation de proportionnalité (même coefficient multiplicateur)

Utiliser et compléter un tableau de proportionnalité (trouver coefficient k)

Calculer une quatrième proportionnelle avec la règle : x = (b × c) ÷ a

Comprendre et utiliser les échelles de cartes et plans (1/n)

Calculer des pourcentages simples : 50% (÷2), 25% (÷4), 10% (÷10), 20% (×2 du 10%)

Résoudre problèmes de vitesses : v = d ÷ t, avec conversions d'unités

Adapter recettes de cuisine par proportionnalité (×2, ×3, ÷2)

Résoudre problèmes complexes multi-étapes combinant plusieurs notions

⚠️ POINTS DE VIGILANCE

La proportionnalité n'est PAS automatique ! Toutes les situations ne sont pas proportionnelles.

Contre-exemples : l'âge et la taille d'une personne (pas proportionnel), le périmètre et l'aire d'un carré (pas proportionnel : si côté ×2, périmètre ×2 mais aire ×4).

Vérifier : 'Quand l'un est multiplié par k, l'autre aussi ?' Difficultés fréquentes : confondre quatrième proportionnelle et simple multiplication.

Méthode rigueur : toujours écrire le tableau avec les 4 valeurs, identifier ce qu'on cherche, appliquer la formule x = (b×c)÷a.

Les échelles sont source d'erreurs : 1/100 000 signifie diviser par 100 000 pour aller du réel à la carte, mais MULTIPLIER par 100 000 pour aller de la carte au réel.

Les conversions sont essentielles : harmoniser les unités AVANT tout calcul de proportionnalité (km en m, heures en minutes, etc.).

Les pourcentages nécessitent de la pratique : 20% n'est PAS ÷20, c'est ×20÷100 ou calculer 10% (÷10) puis ×
2.

Pour les vitesses, bien identifier distance, temps, vitesse et appliquer v=d÷t, d=v×t ou t=d÷v selon ce qu'on cherche.

Encourager la vérification systématique : 'Mon résultat est-il cohérent ?'

📚 IMPORTANCE PÉDAGOGIQUE (CSEN/Hattie)

La proportionnalité est une compétence mathématique transversale majeure (CSEN, 2022).

Elle structure la pensée mathématique et scientifique à tous les niveaux.

Au collège, elle fonde les fonctions linéaires (y = kx), le théorème de Thalès, la trigonométrie, toutes les sciences physiques (vitesse, densité, pression, loi d'Ohm).

Dans la vie quotidienne, elle est omniprésente : achats, recettes, échelles, pourcentages (réductions, taxes, intérêts), vitesses.

L'enseignement explicite de la proportionnalité avec résolution systématique de problèmes variés favorise la compréhension profonde (Hattie, 2023, ES = 0,74 pour instruction explicite, ES = 0,61 pour résolution de problèmes).

Selon le Bulletin Officiel 2025, la proportionnalité est un attendu majeur de fin de CM2, compétence indispensable pour la 6ème.

Les tableaux de proportionnalité développent le raisonnement organisé et la recherche d'invariants (le coefficient).

Les échelles développent la vision spatiale et la proportionnalité à grande échelle.

Les pourcentages préparent les mathématiques financières et la statistique.

Cette semaine synthétise et applique toutes les compétences de P3 dans des situations complexes authentiques.

C'est l'aboutissement de la Période 3.

➡️ POUR LA SEMAINE PROCHAINE (S21)

La Semaine 21 clôturera la Période 3 avec une RÉVISION GÉNÉRALE de toutes les notions abordées depuis S15 : périmètres, aires, volumes, conversions (longueurs, masses, capacités, aires, volumes), et proportionnalité.

Cette semaine de consolidation permettra de réviser systématiquement chaque notion, de faire des exercices mélangés, et de préparer l'évaluation sommative de fin de période.

L'évaluation P3 sera complète et couvrira toutes les compétences travaillées.

Les élèves auront des exercices de difficulté progressive pour permettre à chacun de montrer ses acquis.

Un bilan de compétences détaillé sera fourni pour identifier les réussites et les points à consolider en P4-P
5.

Préparer des fiches de révision pour chaque notion (périmètres, aires, volumes, conversions, proportionnalité).

La P4 abordera ensuite de nouvelles notions (fractions, nombres décimaux approfondis, géométrie dans l'espace).