Calcul mental CM2 — Semaine 20, Jeudi

CONCEPT CLÉ : Échelles = proportionnalité carte/réel.

Pourcentages = proportions sur 100.

Méthodes de calcul rapide. §1 - Échelles de cartes et plans : comprendre la notation Une ÉCHELLE exprime la proportionnalité entre les distances sur une représentation (carte, plan, maquette) et les distances réelles.

Notation : 1/n ou 1:n.

Signification : 1 cm sur la représentation = n cm en réalité.

Exemple : échelle 1/100 000 signifie 1 cm carte = 100 000 cm réel = 1 000 m = 1 km.

Plus n est grand, plus l'échelle est "petite" (territoire représenté grand, détails petits).

Cartes routières : 1/100 000 à 1/1 000000.

Plans de ville : 1/10 000 à 1/25000.

Plans d'appartement : 1/50 à 1/
100.

Maquettes : 1/10 à 1/
100.

Calculs : Distance réelle = distance carte × n.

Distance carte = distance réelle ÷ n.

En CM2, se concentrer sur carte → réel (multiplier par n, puis convertir cm en m ou km).

L'échelle est une application directe de la proportionnalité avec un coefficient k = n. §2 - Calculer des distances réelles à partir d'une carte Méthode systématique : 1) Identifier l'échelle (trouver n dans 1/n). 2) Mesurer la distance sur la carte en cm. 3) Calculer distance réelle = distance carte × n (résultat en cm). 4) Convertir en m ou km (diviser par 100 pour m, par 100 000 pour km).

Exemple 1 : Carte 1/50 000, mesure 6 cm.

Distance réelle = 6 × 50 000 = 300 000 cm = 3 000 m = 3 km.

Exemple 2 : Plan 1/500, mesure 8 cm.

Distance = 8 × 500 = 4 000 cm = 40 m.

Exemple 3 : Carte 1/200 000, mesure 2,5 cm.

Distance = 2,5 × 200 000 = 500 000 cm = 5 km.

Raccourci pour échelle 1/100 000 (fréquente) : 1 cm = 1 km.

Donc n cm = n km.

Pour 1/50 000 : 2 cm = 1 km.

Pour 1/25 000 : 4 cm = 1 km.

Mémoriser ces raccourcis facilite les calculs.

Faire mesurer réellement sur des cartes pour ancrer concrètement la compétence. §3 - Pourcentages : définition et signification Un POURCENTAGE exprime une proportion par rapport à 100.

Notation : n%.

Signification : n sur 100, soit n/
100.

Exemples : 50% = 50/100 = 1/2 (moitié), 25% = 25/100 = 1/4 (quart), 10% = 10/100 = 1/10 (dixième), 75% = 75/100 = 3/4 (trois quarts), 100% = totalité, 0% = rien.

Calculer n% d'une quantité Q : résultat = Q × n ÷ 100.

Exemple : 30% de 150 € = 150 × 30 ÷ 100 = 4 500 ÷ 100 = 45 €.

Mais pour pourcentages simples, utiliser raccourcis : 50% = ÷2, 25% = ÷4, 10% = ÷10, 20% = ÷5 (ou ×2 du 10%), 75% = ÷4 puis ×
3.

Ces raccourcis permettent calculs mentaux rapides.

Les pourcentages sont omniprésents : réductions commerciales, taxes (TVA 20%), résultats électoraux, statistiques, taux de réussite scolaire. §4 - Calculer des pourcentages simples : stratégies mentales Stratégies pour les pourcentages fréquents. 50% : Diviser par 2. 50% de 80 = 80÷2 = 40. 25% : Diviser par 4. 25% de 100 = 100÷4 = 25. 10% : Diviser par 10 (enlever un zéro). 10% de 60 = 6. 20% : Calculer 10% puis doubler. 20% de 50 : 10% = 5, donc 20% = 10. 5% : Calculer 10% puis diviser par 2. 5% de 60 : 10% = 6, donc 5% = 3. 75% : Calculer 25% puis tripler. 75% de 40 : 25% = 10, donc 75% = 30. 1% : Diviser par 100. 1% de 300 = 3.

Pour pourcentages composés : "Article 60 €, réduction 25%, prix final ?" 25% de 60 = 15.

Prix final = 60 - 15 = 45 €.

Ou directement : 75% de 60 = 45 (car 100% - 25% = 75%).

Ces calculs mentaux développent agilité mathématique et sont très utiles quotidiennement (soldes, pourboires). §5 - Applications des échelles : géographie, architecture, modélisme Les échelles sont partout. Géographie : Lire cartes routières, calculer distances de trajets. "Paris-Lyon sur carte 1/1 000 000 : 40 cm.

Distance réelle ?" 40 × 1 000 000 = 40 000 000 cm = 400 km. Architecture : Lire plans de maison. "Plan 1/100, pièce mesure 8 cm sur 6 cm.

Dimensions réelles ?" 8×100 = 800 cm = 8 m par 6×100 = 600 cm = 6 m.

Aire réelle = 8×6 = 48 m². Modélisme : Construire maquettes à l'échelle. "Maquette 1/50 d'un bâtiment de 20 m de haut.

Hauteur maquette ?" 20 m = 2 000 cm.

Maquette = 2 000÷50 = 40 cm. Cartographie : Plus l'échelle est grande (1/10 000), plus les détails sont visibles mais moins le territoire représenté est vaste.

Plus l'échelle est petite (1/1 000 000), plus le territoire est vaste mais moins il y a de détails.

Faire des activités concrètes : tracer plan de la classe à l'échelle 1/50, mesurer dimensions réelles, vérifier correspondances. §6 - Applications des pourcentages : réductions, taxes, statistiques Les pourcentages sont quotidiens. Réductions commerciales : "Soldes -30% sur article 80 €.

Prix final ?" 30% de 80 = 24.

Prix = 80-24 = 56 €.

Ou 70% de 80 = 56. Taxes : "TVA 20% sur produit 50 €.

Prix TTC ?" 20% de 50 = 10.

TTC = 50+10 = 60 €.

Ou 120% de 50 = 60. Résultats scolaires : "15 bonnes réponses sur 20.

Pourcentage ?" 15/20 = 0,75 = 75%. Statistiques : "Dans une classe de 25 élèves, 20 sont présents.

Pourcentage ?" 20/25 = 0,8 = 80%. Sport : "Basketteur marque 12 paniers sur 20 tentatives.

Taux de réussite ?" 12/20 = 0,6 = 60%. Augmentations : "Salaire 2 000 €, augmentation 5%.

Nouveau salaire ?" 5% de 2 000 = 100.

Nouveau = 2 100 €.

Proposer problèmes variés pour ancrer dans contextes réels.

Les pourcentages développent le raisonnement proportionnel et la culture mathématique générale.

💡 DIFFÉRENCIATION

🔹 Élèves en difficulté : Échelles : se limiter à 1/100 000 (1 cm = 1 km, simple).

Fiche avec correspondance écrite.

Mesurer sur vraies cartes avec règle graduée.

Pourcentages : seulement 50% (÷2) et 10% (÷10) avec nombres simples.

Fiches plastifiées avec méthodes.

Calculatrice autorisée.

Binôme.

Objectif minimum : comprendre échelle 1/100 000, calculer 50% et 10% avec aide.

🔹 Élèves dans la norme : Maîtriser plusieurs échelles (1/50 000, 1/100 000, 1/25 000).

Calculer distances carte→réel avec conversions cm→km.

Pourcentages 50%, 25%, 10%, 20% maîtrisés mentalement.

Résoudre problèmes réductions, taxes.

Applications géographie (distances trajets), achats (soldes).

Travail autonome.

Objectif : automatisation échelles courantes et pourcentages simples, résolution problèmes variés.

🔹 Élèves avancés : Échelles variées dont plans (1/100, 1/500).

Calculs réel→carte (inverse).

Maquettes à l'échelle.

Pourcentages composés (réduction puis taxe).

Pourcentages quelconques avec formule Q×n÷
100.

Problèmes complexes : "Carte 1/50 000, trajet 12 km, combien sur carte ?" (24 cm).

Recherche : histoire cartographie, projections.

Créer guide échelles et pourcentages.

📝 PROBLÈME :
Marine achète un ordinateur portable affiché à 800 euros.

Le magasin propose une réduction de 25% pour les soldes.

Ensuite, elle doit payer une taxe de 20% (TVA) sur le prix soldé. a) Quel est le montant de la réduction en euros ? b) Quel est le prix de l'ordinateur après la réduction (prix soldé) ? c) Quel est le montant de la TVA à payer ? d) Quel est le prix final TTC (Toutes Taxes Comprises) que Marine va payer ?
✅ SOLUTION :
Résolvons ce problème étape par étape. a) Montant de la réduction (25% de 800 €) Méthode : 25% = diviser par 4 Réduction = 800 ÷ 4 = 200 € Ou formule : 800 × 25 ÷ 100 = 200 € b) Prix après réduction (prix soldé) Prix soldé = Prix initial - Réduction Prix soldé = 800 - 200 = 600 € Ou directement : 75% de 800 = (800 ÷ 4) × 3 = 200 × 3 = 600 € c) Montant de la TVA (20% du prix soldé) Méthode : 20% = 10% × 2 10% de 600 = 60 € 20% de 600 = 60 × 2 = 120 € Ou formule : 600 × 20 ÷ 100 = 120 € d) Prix final TTC Prix TTC = Prix soldé + TVA Prix TTC = 600 + 120 = 720 € Ou directement : 120% de 600 = 600 + 120 = 720 € Réponses : a) La réduction est de 200 euros. b) Le prix soldé est de 600 euros. c) La TVA à payer est de 120 euros. d) Le prix final TTC que Marine va payer est de 720 euros.

Vérification : 800 × 0,75 × 1,20 = 720 €

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