Additions avec dénominateurs différents (par équivalences)
Additions guidées (étape par étape) :
• 1/2 + 1/4 = ? → (2/4 + 1/4 = 3/4)
• 1/2 + 1/10 = ? → (5/10 + 1/10 = 6/10 = 3/5)
• 1/3 + 1/6 = ? → (2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2)
• 1/4 + 1/8 = ? → (2/8 + 1/8 = 3/8)
• 1/2 + 3/10 = ? → (5/10 + 3/10 = 8/10 = 4/5)
• 1/5 + 1/10 = ? → (2/10 + 1/10 = 3/10)
• 1/4 + 1/2 = ? → (1/4 + 2/4 = 3/4)
• 2/5 + 1/10 = ? → (4/10 + 1/10 = 5/10 = 1/2)
👨🏫 Enseignant : "Bonjour ! Lundi et mardi, nous avons additionné et soustrait des fractions qui avaient le MÊME dénominateur.
Aujourd'hui, nous franchissons une nouvelle étape : additionner des fractions qui ont des dénominateurs DIFFÉRENTS.
Regardez : 1/2 + 1/
4.
Pouvez-vous faire 2/6 ?"
🧒 Élève : "Non ! On ne peut pas additionner des demis et des quarts directement !"
👨🏫 Enseignant : "Exactement ! Ce sont des parts de tailles différentes.
Mais on a une solution : les fractions ÉQUIVALENTES de la semaine dernière ! On va transformer les deux fractions pour qu'elles aient le même dénominateur. 1/2, ça fait combien en quarts ?"
🧒 Élève : "2/4 ! Parce que 1/2 = 2/4 !"
👨🏫 Enseignant : "Parfait ! Donc maintenant on peut réécrire : 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/
4.
Et là, on sait faire ! Même dénominateur, donc on additionne les numérateurs : 2/4 + 1/4 = 3/
4.
C'est génial, non ? Grâce aux équivalences, on peut additionner N'IMPORTE quelles fractions !"
🧒 Élève : "Ah ! Il faut toujours transformer d'abord pour avoir le même dénominateur !"
👨🏫 Enseignant : "Exactement ! C'est la méthode universelle.
Regardons un autre exemple : 1/3 + 1/
6.
Comment transformer pour avoir le même dénominateur ?"
🧒 Élève : "On peut mettre 1/3 en sixièmes : 1/3 = 2/6 !"
👨🏫 Enseignant : "Parfait ! Donc le résultat final est 1/
2.
Récapitulons la méthode : (1) Regarder si les dénominateurs sont les mêmes. (2) Si non, transformer une ou les deux fractions en équivalentes de même dénominateur. (3) Additionner les numérateurs. (4) Simplifier si possible.
Cette méthode marchera toujours !"
STRATEGIE
8 min
Concept : Pour additionner des fractions de dénominateurs différents, les transformer d'abord en fractions équivalentes de même dénominateur, puis additionner
Détails de la stratégie :
1.
Le problème : On ne peut pas additionner directement des parts de tailles différentes Si j'ai 1/2 de pizza (grande part) et 1/4 de pizza (petite part), je ne peux pas dire "j'ai 2/6 de pizza".
Ça n'a pas de sens ! Des demis et des quarts sont des unités différentes, comme des mètres et des centimètres.
Pour les additionner, il faut d'abord les convertir dans la même unité.
C'est exactement ce qu'on fait avec les fractions : on les transforme pour qu'elles aient le même dénominateur (la même "unité"), puis on peut additionner. 2.
La méthode en 4 étapes systématiques Voici la démarche complète pour additionner deux fractions de dénominateurs différents.
Étape 1 : Identifier un dénominateur commun (souvent le plus grand des deux dénominateurs, ou leur produit).
Étape 2 : Transformer chaque fraction en une fraction équivalente ayant ce dénominateur commun (en utilisant les équivalences de S11).
Étape 3 : Additionner les fractions obtenues (qui ont maintenant le même dénominateur).
Étape 4 : Simplifier le résultat si possible.
Exemple complet : 1/2 + 1/
4.
Dénominateur commun : 4.
Transformation : 1/2 = 2/
4.
Addition : 2/4 + 1/4 = 3/
4.
Simplification : 3/4 déjà irréductible.
Résultat : 3/
4. 3.
Choisir le bon dénominateur commun Plusieurs choix sont possibles pour le dénominateur commun, mais certains sont plus simples.
Le plus facile : prendre le plus grand des deux dénominateurs s'il est multiple du plus petit.
Pour 1/2 + 1/4 : prendre 4 (car 4 est multiple de 2).
Pour 1/5 + 1/10 : prendre 10 (car 10 est multiple de 5).
Mais ce n'est pas toujours le plus petit commun multiple.
Pour l'instant, privilégier les cas simples où un dénominateur est multiple de l'autre. 4.
Transformation pratique : Quelle fraction transformer ? Souvent, une seule des deux fractions a besoin d'être transformée.
Pour 1/2 + 1/4 : on transforme juste 1/2 en 2/4, et 1/4 reste 1/
4.
Pour 1/3 + 1/6 : on transforme juste 1/3 en 2/6, et 1/6 reste 1/
6.
Parfois, il faut transformer les deux.
Pour 1/2 + 1/3 : on les transforme toutes les deux en sixièmes : 1/2 = 3/6 et 1/3 = 2/6, puis 3/6 + 2/6 = 5/
6.
Identifier quelle(s) fraction(s) transformer facilite le calcul. 5.
Visualisation : Même quantité, découpage différent Pour montrer que 1/2 + 1/4 = 3/4, dessiner au tableau deux cercles identiques.
Premier cercle : couper en 2, colorier 1 moitié (1/2).
Deuxième cercle : couper en 4, colorier 1 quart (1/4).
Puis superposer ou comparer avec un troisième cercle coupé en 4 : on voit que 1/2 correspond à 2 quarts, donc 1/2 + 1/4 = 2 quarts + 1 quart = 3 quarts.
Cette visualisation concrète aide à comprendre la transformation. 6.
Vérification par les décimaux Pour certaines fractions, on peut vérifier le résultat en passant par les décimaux. 1/2 + 1/4 : en décimal, 0,5 + 0,25 = 0,75 = 3/
4.
Correct ! Cette méthode de vérification rassure et valide le calcul.
Mais attention, elle ne fonctionne bien que pour les fractions "décimales" (celles qui se convertissent facilement).
📊 DIFFÉRENCIATION (3 niveaux)
🔹 Élèves en difficulté : Se limiter aux additions où un dénominateur est multiple de l'autre : 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/10, 1/5 + 1/
10.
Les guider étape par étape.
Pour 1/2 + 1/4 : "Transforme 1/2 en quarts : 1/2 = ?/4".
Puis "Maintenant additionne 2/4 + 1/4".
Leur fournir des aides visuelles (cercles pré-dessinés).
Répéter les mêmes opérations plusieurs fois avant de varier.
🔹 Élèves dans la norme : Les entraîner aux additions nécessitant une seule transformation : 1/2 + 1/4, 1/3 + 1/6, 1/5 + 3/
10.
Les faire verbaliser toute la démarche.
Les entraîner aussi à simplifier le résultat : 1/2 + 1/10 = 5/10 + 1/10 = 6/10 = 3/
5.
Alterner calculs guidés et problèmes contextualisés.
Les faire vérifier certains résultats en décimal.
🔹 Élèves avancés : Leur proposer des additions nécessitant deux transformations : 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/
6.
Les entraîner à trouver le bon dénominateur commun (le plus petit).
Leur faire additionner 3 fractions ou plus : 1/2 + 1/4 + 1/4 = 2/4 + 1/4 + 1/4 = 4/4 = 1.
Les initier aux soustractions avec dénominateurs différents : 1/2 − 1/4 = 2/4 − 1/4 = 1/4.
APPLICATION
2-3 min
Problème : « Pour préparer une tarte, une recette demande 1/2 kg de farine et 1/4 de kg de sucre.
Quelle quantité totale de ces deux ingrédients faut-il ? Exprime le résultat sous forme de fraction simplifiée, puis en grammes. »
Réponse complète : « On doit additionner 1/2 kg de farine et 1/4 kg de sucre.
Ces fractions ont des dénominateurs différents (2 et 4).
Dénominateur commun : 4 (car 4 est multiple de 2).
Transformation : 1/2 = 2/
4.
Addition : 2/4 + 1/4 = (2+1)/4 = 3/
4.
La quantité totale est 3/4 de kg.
On vérifie : 3/4 est déjà sous forme irréductible.
En grammes : 3/4 de kg = 0,75 kg = 750 grammes.
Vérification : 1/2 kg = 500 g, 1/4 kg = 250 g, total = 500 + 250 = 750 g.