👨🏫 Enseignant : "Bonjour ! Cette semaine, nous travaillons sur les fractions équivalentes.
Lundi, on a appris à multiplier pour trouver des équivalences.
Mardi, on a appris à diviser pour simplifier.
Aujourd'hui, on va s'entraîner intensivement avec des exercices à trous.
Regardez au tableau : 1/2 = ?/
4.
Comment trouve-t-on le nombre manquant ?"
🧒 Élève : "On regarde ce qui se passe avec les dénominateurs ! 2 × 2 = 4, donc on multiplie aussi le numérateur par 2 : 1 × 2 = 2.
La réponse est 2/4 !"
👨🏫 Enseignant : "Parfait ! La méthode est claire : on regarde d'abord comment passer d'un dénominateur à l'autre, puis on applique la même transformation au numérateur.
Autre exemple : 1/3 = ?/
6.
Comment fait-on ?"
🧒 Élève : "3 × 2 = 6, donc 1 × 2 = 2.
La réponse est 2/6 !"
👨🏫 Enseignant : "Excellent ! Maintenant, un cas un peu différent : ?/4 = 1/
2.
Cette fois, c'est le numérateur qui manque.
Comment fait-on ?"
🧒 Élève : "On regarde les dénominateurs : 2 × 2 = 4, donc on fait pareil avec les numérateurs : 1 × 2 = 2.
La réponse est 2/4 !"
👨🏫 Enseignant : "Bravo ! Et parfois, c'est le dénominateur qui manque.
Par exemple : 2/5 = 4/?.
Qui peut trouver ?"
🧒 Élève : "Le numérateur est passé de 2 à 4, donc on a multiplié par 2.
Donc le dénominateur aussi : 5 × 2 = 10.
La réponse est 4/10 !"
👨🏫 Enseignant : "Parfait ! Vous avez compris la méthode.
On identifie toujours la transformation (multiplier ou diviser par quel nombre ?), puis on applique la même transformation à l'autre partie de la fraction.
Entraînons-nous maintenant sur beaucoup d'exemples !"
STRATEGIE
8 min
Concept : Pour compléter une égalité de fractions équivalentes, identifier la transformation appliquée (multiplication ou division) et l'appliquer aux deux parties
Détails de la stratégie :
1.
Stratégie générale : Identifier la transformation Pour compléter une égalité comme 1/2 = ?/4 ou 2/5 = 4/?, la démarche est toujours la même : (1) Regarder les deux nombres connus (un numérateur et un dénominateur, ou deux numérateurs, ou deux dénominateurs). (2) Identifier la transformation : par quel nombre a-t-on multiplié (ou divisé) pour passer de l'un à l'autre ? (3) Appliquer la MÊME transformation à l'autre partie de la fraction pour trouver le nombre manquant.
Cette méthode systématique fonctionne dans tous les cas. 2.
Cas 1 : Le numérateur manque (exemple : ?/4 = 1/2) On regarde les dénominateurs.
On passe de 2 à 4, donc on a multiplié par 2 (car 2 × 2 = 4).
On applique la même transformation au numérateur : 1 × 2 = 2.
Donc la réponse est 2/
4.
Vérification : 2/4 = 1/2 ? Oui, en simplifiant 2/4 par 2, on retrouve 1/
2.
Autre exemple : ?/10 = 1/
5.
Dénominateurs : 5 × 2 = 10.
Numérateur : 1 × 2 = 2.
Réponse : 2/
10. 3.
Cas 2 : Le dénominateur manque (exemple : 1/2 = 3/?) On regarde les numérateurs.
On passe de 1 à 3, donc on a multiplié par 3 (car 1 × 3 = 3).
On applique la même transformation au dénominateur : 2 × 3 = 6.
Donc la réponse est 3/
6.
Vérification : 1/2 = 3/6 ? Oui, en simplifiant 3/6 par 3, on retrouve 1/
2.
Autre exemple : 2/5 = 6/?.
Numérateurs : 2 × 3 = 6.
Dénominateur : 5 × 3 = 15.
Réponse : 6/
15. 4.
Cas particuliers : Division au lieu de multiplication Parfois, la transformation est une division.
Exemple : 4/10 = 2/?.
Numérateurs : on passe de 4 à 2 en divisant par 2 (4 ÷ 2 = 2).
On applique au dénominateur : 10 ÷ 2 = 5.
Réponse : 2/
5.
C'est une simplification ! Autre exemple : ?/4 = 3/
12.
Dénominateurs : on passe de 12 à 4 en divisant par 3 (12 ÷ 3 = 4).
Numérateur : 3 ÷ 3 = 1.
Réponse : 1/
4.
Vérification : 1/4 = 3/12 ? Oui, en multipliant 1/4 par 3, on obtient 3/
12. 5.
Vérification systématique Après avoir trouvé le nombre manquant, toujours vérifier que l'égalité est correcte.
Trois méthodes : (1) Simplifier la fraction obtenue et voir si on retrouve l'autre fraction. (2) Multiplier/diviser pour voir si on obtient l'égalité. (3) Convertir en décimal et vérifier l'égalité des valeurs.
Exemple : on a trouvé 1/2 = 5/
10.
Vérifions : 5/10 = 0,5 et 1/2 = 0,
5.
Égalité vérifiée ! 6.
Entraînement intensif Les élèves s'entraînent sur ardoise avec de nombreux exemples.
L'enseignant écrit au tableau des égalités à trous, les élèves trouvent le nombre manquant, on vérifie collectivement.
Varier les cas : numérateur manquant, dénominateur manquant, multiplication, division, fractions simples, fractions plus complexes.
L'objectif est que les élèves automatisent cette compétence car elle sera indispensable pour les opérations sur fractions (semaine prochaine).
📊 DIFFÉRENCIATION (3 niveaux)
🔹 Élèves en difficulté : Se limiter aux égalités simples avec multiplication par 2 : 1/2 = ?/4, ?/4 = 1/2, 1/3 = ?/6, 1/4 = ?/
8.
Les guider pas à pas : "Le dénominateur passe de 2 à 4, donc on multiplie par quoi ? Par 2.
Donc le numérateur aussi : 1 × 2 = ?".
Leur faire écrire chaque étape sur l'ardoise.
Répéter de nombreux exemples similaires avant de varier.
Utiliser des dessins pour vérifier visuellement.
🔹 Élèves dans la norme : Les entraîner aux quatre cas : numérateur ou dénominateur manquant, multiplication ou division.
Leur faire compléter des séries : 1/2 = ?/4 = 3/? = ?/8 = 5/?.
Les faire verbaliser la méthode à chaque fois.
Leur proposer des vérifications en décimal ou par simplification.
🔹 Élèves avancés : Leur proposer des égalités plus complexes avec des nombres plus grands : 3/4 = ?/12, 5/6 = ?/18, ?/15 = 2/
5.
Les faire réfléchir aux cas où plusieurs réponses sont possibles : "1/2 = ?/?" (infinité de réponses : 2/4, 3/6, 4/8...).
Leur faire créer leurs propres égalités à trous pour leurs camarades.
Les initier aux proportions : "Si 3 kg coûtent 12€, combien coûte 1 kg ?" → 3/12 = 1/? → 1/4, donc 4€.
APPLICATION
2-3 min
Problème : « Pour faire un sirop, une recette indique : 1 part de concentré pour 4 parts d'eau, ce qui s'écrit 1/5 de concentré (car 1 part sur 5 parts au total).
Jules veut faire une plus grande quantité en gardant les mêmes proportions.
Il utilise 3 parts de concentré.
Combien de parts d'eau doit-il mettre ? Quelle fraction de concentré aura son mélange ? Complète l'égalité : 1/5 = ?/?. »
Réponse complète : « La recette de base : 1 concentré + 4 eau = 5 parts au total, donc 1/5 de concentré.
Jules utilise 3 parts de concentré au lieu d'1, donc il multiplie par 3.
Il doit aussi multiplier l'eau par 3 : 4 × 3 = 12 parts d'eau.
Son mélange : 3 concentré + 12 eau = 15 parts au total, donc 3/15 de concentré.
Vérifions l'égalité : 1/5 = 3/15 ? En multipliant numérateur et dénominateur de 1/5 par 3, on obtient (1×3)/(5×3) = 3/
15.
Correct ! On peut simplifier 3/15 : 3/15 = 1/5 (en divisant par 3).
Les proportions sont bien respectées : Jules aura le même goût de sirop que la recette de base. »