Calcul mental CM2 — Semaine 20, Mardi

CONCEPT CLÉ : Quatrième proportionnelle : si a → b et c → x, alors x = (b × c) ÷ a.

Règle de trois universelle. §1 - La quatrième proportionnelle : définition et contexte La QUATRIÈME PROPORTIONNELLE est la valeur manquante dans un tableau de proportionnalité où trois valeurs sont connues.

Contexte : on a deux grandeurs proportionnelles, trois valeurs connues (deux d'une grandeur, une de l'autre), on cherche la quatrième.

Exemple type : "Si 3 kg coûtent 9 €, combien coûtent 5 kg ?" Tableau : Masse | 3 | 5.

Prix | 9 | ? Les trois valeurs connues : 3, 9, 5.

La quatrième à trouver : ?.

La RÈGLE DE TROIS est la méthode pour calculer cette quatrième valeur.

Historiquement, c'est l'une des premières techniques mathématiques enseignées, utilisée depuis l'Antiquité dans le commerce.

Elle est universelle : fonctionne pour toute situation de proportionnalité, quels que soient les nombres (entiers, décimaux, grands, petits).

En CM2, c'est une compétence majeure à automatiser. §2 - Formule de la quatrième proportionnelle : dérivation Formule : si a → b et c → ?, alors ? = (b × c) ÷ a.

Démonstration : les grandeurs sont proportionnelles, donc il existe un coefficient k tel que b = k × a.

On cherche ?, qui vérifie ? = k × c.

Calculons k : k = b ÷ a.

Donc ? = k × c = (b ÷ a) × c = (b × c) ÷ a.

CQFD.

La formule découle directement de la définition de proportionnalité.

Mnémotechnique visuelle : "Croiser en diagonale et diviser par le restant." Dans le tableau : a | c, b | ?, on multiplie b × c (diagonale) et on divise par a (restant).

Attention à bien placer les valeurs : a et b doivent être sur la même COLONNE (correspondre), c et ? aussi.

Exemple : 4 m → 12 €, 6 m → ? Tableau correct : m | 4 | 6, € | 12 | ?.

Formule : ? = (12 × 6) ÷ 4 = 72 ÷ 4 = 18 €.

Cette formule est l'outil central de tous les calculs de proportionnalité. §3 - Méthode systématique : 4 étapes Méthode rigoureuse en 4 étapes pour résoudre tout problème de quatrième proportionnelle. Étape 1 : Identifier les grandeurs et les valeurs. Quelles sont les deux grandeurs proportionnelles ? Quelles sont les trois valeurs connues ? Quelle est l'inconnue ? Étape 2 : Construire le tableau. Deux lignes (une par grandeur), deux colonnes minimum.

Placer les valeurs connues, noter l'inconnue ?. Étape 3 : Appliquer la formule ? = (b × c) ÷ a. Identifier a, b, c correctement (a et b même colonne).

Calculer par étapes : d'abord b × c, puis diviser par a. Étape 4 : Vérifier la cohérence. Le résultat est-il logique ? Vérifier avec le coefficient k.

Cette méthode systématique évite les erreurs et structure le raisonnement.

Exemple complet : "5 h de travail → 200 € de salaire.

Combien pour 8 h ?" Grandeurs : heures et euros.

Valeurs : 5 h, 200 €, 8 h.

Inconnue : salaire pour 8 h.

Tableau : h | 5 | 8, € | 200 | ?.

Formule : ? = (200 × 8) ÷ 5 = 1 600 ÷ 5 = 320 €.

Vérification : k = 200÷5 = 40 €/h, donc 8×40 = 320 €.

✓ §4 - Cas particuliers et variantes La règle de trois s'adapte à diverses situations. Cas 1 : Chercher une valeur de la première grandeur. "3 kg → 9 €, ? kg → 15 €." Tableau : kg | 3 | ?, € | 9 | 15.

Formule : ? = (15 × 3) ÷ 9 = 45 ÷ 9 = 5 kg. Cas 2 : Nombres décimaux. "2,5 L → 7,50 €, 4 L → ?" ? = (7,50 × 4) ÷ 2,5 = 30 ÷ 2,5 = 12 €. Cas 3 : Grands nombres. "500 km → 6 h, 800 km → ?" ? = (6 × 800) ÷ 500 = 4 800 ÷ 500 = 9,6 h. Cas 4 : Fractions. "1/2 kg → 2 €, 3/4 kg → ?" ? = (2 × 3/4) ÷ 1/2 = (2 × 0,75) ÷ 0,5 = 1,5 ÷ 0,5 = 3 €.

En CM2, se concentrer sur entiers et décimaux simples.

Les fractions et grands nombres sont pour les élèves avancés.

L'important : maîtriser la méthode, qui s'applique universellement. §5 - Erreurs fréquentes et pièges Erreur #1 : Inverser les valeurs dans la formule.

FAUX : (a × c) ÷ b.

VRAI : (b × c) ÷ a.

Rappel : a et b doivent être dans la même colonne.

Erreur #2 : Oublier de diviser. "3 → 9, 5 → ?" calcul 9 × 5 = 45, mais oublier ÷ 3.

Résultat faux : 45 (au lieu de 15).

Toujours diviser ! Erreur #3 : Confondre proportionnalité et addition. "Si 3 kg coûtent 9 €, 5 kg coûtent 11 €" (9+2).

FAUX ! Il faut multiplier, pas additionner.

Erreur #4 : Mauvaise organisation du tableau.

Mélanger les grandeurs.

Être rigoureux : une ligne par grandeur, correspondances verticales.

Prévention : faire verbaliser les étapes. "J'identifie a, b, c.

Je calcule b × c.

Je divise par a.

Je vérifie." Utiliser couleurs dans le tableau pour identifier a (rouge), b (bleu), c (vert), ? (à calculer).

Ces visualisations aident les élèves en difficulté. §6 - Applications variées : achats, distances, recettes La quatrième proportionnelle résout une multitude de problèmes concrets. Achats : "Oranges 4 kg → 10 €.

Prix de 6 kg ?" (10×6)÷4 = 15 €. "Comparer : 3 kg à 7,50 € vs 5 kg à 12 €.

Même tarif ?" 3 → 7,50, 5 → ? : (7,50×5)÷3 = 12,50 ≠ 12, donc tarifs différents. Recettes : "Recette 6 pers : 300 g farine.

Pour 8 pers ?" (300×8)÷6 = 400 g. Distances/vitesses : "80 km/h, 3 h → 240 km.

À 100 km/h, combien de temps pour 240 km ?" 80 → 3 h, 100 → ? : (3×80)÷100 = 2,4 h. (Attention : ici on inverse vitesse/temps, proportionnalité inverse, à aborder vendredi). Échelles : "Sur carte 1/50 000, 4 cm → km réel ?" 1 cm → 50 000 cm, 4 cm → ? : (50 000×4)÷1 = 200 000 cm = 2 km.

Proposer problèmes variés pour ancrer la compétence dans divers contextes.

💡 DIFFÉRENCIATION

🔹 Élèves en difficulté : Fiche méthode plastifiée avec formule et étapes numérotées.

Calculatrice autorisée pour tous les calculs.

Tableaux pré-remplis avec a, b, c identifiés par couleurs.

Nombres entiers simples uniquement (éviter décimaux).

Exercices guidés étape par étape avec enseignant.

Binôme avec tuteur.

Objectif minimum : comprendre qu'on cherche une 4ème valeur, appliquer formule avec aide visuelle, résoudre problèmes simples guidés.

🔹 Élèves dans la norme : Maîtriser formule ? = (b×c)÷a parfaitement.

Construire tableaux autonomement.

Identifier correctement a, b, c.

Calculer avec entiers et décimaux.

Résoudre problèmes variés (achats, recettes, distances).

Vérifier résultats avec coefficient k.

Travail autonome complet.

Objectif : automatisation règle de trois, résolution rapide et précise de tous problèmes de proportionnalité à 4 valeurs.

🔹 Élèves avancés : Problèmes complexes avec grands nombres ou fractions.

Situations ambiguës (déterminer quelle valeur chercher).

Problèmes inverses : proportionnalité inverse (plus on va vite, moins on met de temps).

Chaînes de calculs : plusieurs règles de trois successives.

Recherche : histoire de la règle de trois (commerce médiéval).

Créer guide de la règle de trois pour la classe.

📝 PROBLÈME :
Une voiture consomme 6 litres d'essence pour parcourir 90 kilomètres.

Le réservoir de la voiture a une capacité de 50 litres. a) Combien de kilomètres la voiture peut-elle parcourir avec un réservoir plein ? b) Pour un trajet de 450 kilomètres, combien de litres d'essence seront nécessaires ?
✅ SOLUTION :
Ce problème nécessite deux applications de la règle de trois. a) Kilomètres avec 50 litres Tableau : Essence (L) | 6 | 50 Distance (km) | 90 | ? Formule : ? = (90 × 50) ÷ 6 = 4 500 ÷ 6 = 750 km b) Essence pour 450 km Tableau : Essence (L) | 6 | ? Distance (km) | 90 | 450 Formule : ? = (6 × 450) ÷ 90 = 2 700 ÷ 90 = 30 litres Réponses : a) Avec un réservoir plein de 50 litres, la voiture peut parcourir 750 kilomètres. b) Pour parcourir 450 kilomètres, il faudra 30 litres d'essence.

Vérification : Consommation = 6÷90 = 0,0667 L/km (environ) 750 km × 0,0667 ≈ 50 L

✓ 450 km × 0,0667 = 30 L

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