Calcul mental CM2 — Semaine 20, Lundi

CONCEPT CLÉ : Proportionnalité = relation multiplicative constante.

Tableau organise les données.

Coefficient k relie les deux grandeurs. §1 - Comprendre la proportionnalité : définition et exemples Deux grandeurs sont PROPORTIONNELLES quand l'une est obtenue en multipliant l'autre par un nombre constant (le coefficient de proportionnalité).

Définition : si grandeur A et grandeur B sont proportionnelles, alors B = k × A, où k est le coefficient.

Exemple : pommes à 3 €/kg.

Prix = 3 × masse.

Si masse ×2, prix ×2 aussi.

Si masse ×5, prix ×
5.

Le coefficient k = 3 est constant.

Exemples de situations proportionnelles : prix et quantité (même tarif), distance et temps (vitesse constante), recettes de cuisine (mêmes proportions d'ingrédients), échelles de plans.

Exemples NON proportionnels : âge et taille d'une personne (la taille ne double pas quand l'âge double !), périmètre et aire d'un carré (si côté ×2, périmètre ×2 mais aire ×4, donc pas proportionnel).

Reconnaître la proportionnalité : vérifier si multiplier une grandeur par k multiplie l'autre par k aussi.

C'est une compétence clé à développer par l'analyse de situations variées. §2 - Tableau de proportionnalité : structure et utilisation Le TABLEAU DE PROPORTIONNALITÉ organise les données en deux lignes.

Ligne 1 : première grandeur (ex: masse).

Ligne 2 : deuxième grandeur (ex: prix).

Structure : Grandeur 1 | val1 | val2 | val3 Grandeur 2 | v1 | v2 | v3 Si les grandeurs sont proportionnelles, il existe un coefficient k tel que chaque valeur de la ligne 2 = k × valeur correspondante de la ligne 1.

Utilisation : 1) Placer les données connues dans le tableau. 2) Trouver le coefficient k en divisant une valeur de ligne 2 par la valeur correspondante de ligne 1. 3) Utiliser k pour calculer les valeurs manquantes.

Exemple : 3 kg → 9 €, 5 kg → ? Tableau : Masse | 3 | 5.

Prix | 9 | ? Coefficient : k = 9÷3 = 3.

Donc 5 kg → 3×5 = 15 €.

Le tableau rend le raisonnement visuel et systématique.

Il structure l'information et évite les erreurs.

En CM2, tous les problèmes de proportionnalité doivent être résolus avec un tableau. §3 - Coefficient de proportionnalité : trouver et utiliser Le COEFFICIENT DE PROPORTIONNALITÉ (noté k) est le nombre qui relie les deux grandeurs proportionnelles.

Formule : k = grandeur 2 ÷ grandeur 1.

Signification : k indique combien vaut UNE UNITÉ de la grandeur 1 en grandeur 2.

Exemple : pommes 3 kg → 12 €. k = 12÷3 = 4.

Signification : 1 kg coûte 4 €.

Une fois k trouvé, on peut calculer n'importe quelle valeur : grandeur 2 = k × grandeur 1.

Pour 7 kg : prix = 4 × 7 = 28 €.

Méthode systématique : 1) Choisir une paire de valeurs connues dans le tableau. 2) Diviser la valeur ligne 2 par la valeur ligne 1 correspondante. 3) Vérifier avec une autre paire si possible (k doit être le même !). 4) Utiliser k pour compléter le tableau.

Attention : k peut être décimal.

Ex: 5 kg → 12 €, k = 12÷5 = 2,4 €/kg.

Le coefficient a une UNITÉ : ici €/kg (euros par kilogramme).

Comprendre l'unité aide à interpréter le coefficient. §4 - Compléter un tableau de proportionnalité : stratégies Plusieurs stratégies pour compléter un tableau de proportionnalité. Stratégie 1 : Trouver le coefficient k. Calculer k = ligne2÷ligne1 avec une paire connue, puis multiplier par k pour trouver les valeurs manquantes.

Exemple : 4 kg → 20 €, 7 kg → ? k = 20÷4 = 5.

Donc 7 kg → 5×7 = 35 €. Stratégie 2 : Utiliser les multiples simples. Si une colonne est un multiple simple d'une autre, multiplier directement.

Exemple : 2 kg → 6 €, 4 kg → ? 4 est le double de 2, donc 6×2 = 12 €. Stratégie 3 : Additivité. Dans un tableau proportionnel, on peut additionner les colonnes.

Exemple : 2 kg → 6 €, 3 kg → 9 €.

Pour 5 kg : 2+3=5, donc 6+9=15 €. Stratégie 4 : Retour à l'unité. Calculer la valeur pour 1 unité de grandeur 1, puis multiplier.

Exemple : 6 kg → 18 €. 1 kg → 18÷6 = 3 €. 10 kg → 3×10 = 30 €.

Chaque stratégie a ses avantages.

En CM2, privilégier le coefficient k (méthode universelle) tout en montrant les raccourcis pour nombres simples. §5 - Reconnaître une situation proportionnelle ou non Compétence essentielle : savoir distinguer proportionnalité et non-proportionnalité.

Critère : pour qu'il y ait proportionnalité, quand grandeur 1 est multipliée par n, grandeur 2 doit être multipliée par n aussi, QUELQUE SOIT n.

Tester : prendre plusieurs paires de valeurs, vérifier que le coefficient k est toujours le même.

Exemples proportionnels : prix au kg (k constant), vitesse constante (distance = vitesse × temps).

Exemples NON proportionnels : âge/taille (pas de k constant), côté/aire d'un carré (côté ×2 → aire ×4, pas proportionnel).

Exercice type : "Les nombres suivants sont-ils proportionnels ? Ligne 1 : 2, 4, 6.

Ligne 2 : 8, 16, 24." Calculer k pour chaque paire : 8÷2=4, 16÷4=4, 24÷6=
4. k constant = OUI proportionnel.

Autre : "Ligne 1 : 2, 3, 4.

Ligne 2 : 4, 9, 16." k : 4÷2=2, 9÷3=3, 16÷4=
4. k différent = NON proportionnel.

Ces exercices développent le sens critique. §6 - Applications concrètes : achats, recettes, distances La proportionnalité est omniprésente. Achats : "Pommes 3 €/kg.

Combien pour 2,5 kg ?" 3 × 2,5 = 7,50 €. "Comparer prix : 1,5 kg à 6 € vs 2 kg à 7 €.

Lequel plus économique ?" Prix au kg : 6÷1,5 = 4 €/kg vs 7÷2 = 3,50 €/kg. 2 kg à 7 € plus économique. Recettes : "Recette 4 personnes : 200 g farine, 100 g sucre.

Pour 10 personnes ?" Coefficient : 10÷4 = 2,
5.

Farine : 200×2,5 = 500 g.

Sucre : 100×2,5 = 250 g. Distances : "Voiture roule à 80 km/h.

Distance en 3 h ?" Distance = 80 × 3 = 240 km. "À 60 km/h, temps pour 180 km ?" Temps = 180 ÷ 60 = 3 h.

Ces problèmes développent la modélisation mathématique et montrent l'utilité de la proportionnalité.

Proposer des problèmes variés, avec différents contextes, pour ancrer solidement la compétence.

💡 DIFFÉRENCIATION

🔹 Élèves en difficulté : Manipulation concrète : utiliser vraies pièces/objets pour matérialiser la proportionnalité. "2 pommes → 4 €, 4 pommes → 8 €" (doubler objets et prix).

Tableaux simplifiés avec nombres entiers simples et multiples évidents (×2, ×3).

Se limiter à trouver coefficient k avec une seule paire, puis utiliser k.

Calculatrice autorisée.

Fiches avec méthode écrite étape par étape.

Binôme avec tuteur.

Objectif minimum : comprendre que proportionnalité = "même multiplication", compléter tableaux simples avec coefficient k.

🔹 Élèves dans la norme : Maîtriser tableaux de proportionnalité avec nombres entiers et décimaux.

Trouver coefficient k efficacement.

Utiliser k pour compléter tableaux.

Reconnaître situations proportionnelles vs non proportionnelles.

Résoudre problèmes contextualisés (achats, recettes).

Utiliser stratégies multiples (coefficient, multiples, additivité).

Vérifications systématiques.

Travail autonome.

Objectif : automatisation complète tableaux proportionnalité, résolution autonome problèmes variés.

🔹 Élèves avancés : Tableaux complexes avec plusieurs valeurs manquantes.

Problèmes à coefficients décimaux complexes.

Situations ambiguës (déterminer si proportionnel ou non).

Créer leurs propres problèmes de proportionnalité.

Introduction fonctions linéaires y=kx (graphique).

Recherche : proportionnalité dans sciences (densité, concentration).

Défis : optimisation avec proportionnalité (meilleur rapport qualité/prix avec 3+ produits).

📝 PROBLÈME :
Un fleuriste vend des roses.

Il propose deux tarifs : 6 roses pour 18 euros, ou 10 roses pour 28 euros. a) Ces deux tarifs sont-ils proportionnels (même prix au kg) ? b) Quel tarif est le plus avantageux pour le client ? c) Si j'achète 15 roses au tarif le plus avantageux, combien vais-je payer ?
✅ SOLUTION :
Pour résoudre ce problème, calculons le prix par rose pour chaque tarif. a) Les tarifs sont-ils proportionnels ? Tarif 1 : 6 roses → 18 € Prix par rose = 18 ÷ 6 = 3 € par rose Tarif 2 : 10 roses → 28 € Prix par rose = 28 ÷ 10 = 2,80 € par rose Les prix par rose sont différents (3 € vs 2,80 €), donc les tarifs ne sont PAS proportionnels.

Ce ne sont pas des tarifs au même prix unitaire. b) Tarif le plus avantageux Tarif 1 : 3 € par rose Tarif 2 : 2,80 € par rose Le tarif 2 (10 roses pour 28 €) est plus avantageux car chaque rose coûte 2,80 € au lieu de 3 €. c) Prix de 15 roses au tarif le plus avantageux (tarif 2) Prix = 2,80 € × 15 = 42 € Réponses : a) Non, les deux tarifs ne sont pas proportionnels (prix par rose différent). b) Le tarif 2 (10 roses pour 28 €) est plus avantageux (2,80 €/rose vs 3 €/rose). c) 15 roses au tarif 2 coûteront 42 €.

Vérification : 15 × 2,80 = 42 €

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